Download e-book for iPad: Affine Ebenen: eine konstruktive Algebraisierung by Artur Bergmann, Erich Baumgartner

By Artur Bergmann, Erich Baumgartner

ISBN-10: 3486721372

ISBN-13: 9783486721379

Zu jeder affinen Inzidenzebene, in welcher der große Satz von Desargues gilt (kurz: (D)-Ebene), wird mit Hilfe von Translationen und Streckungen ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Schiefkörper hergeleitet. Anders als in der bisherigen Literatur werden diese Abbildungen nicht axiomatisch, sondern konstruktiv eingeführt. Dieser Weg ist anschaulich und verdeutlicht den geometrischen Hintergrund der algebraischen Strukturen. Außerdem sichert er von Anfang an die Existenz hinreichend vieler solcher Abbildungen. Die Autoren weisen u.a. nach: • Die Isomorphieklassen von (D)-Ebenen und die Isomorphieklassen algebraisch affiner Ebenen entsprechen sich bijektiv. • Bei der Hilbertschen Streckenrechnung führen unterschiedliche Konstruktionsdaten zu isomorphen Schiefkörpern. • Translationen, Streckungen und axiale Kollineationen sind drei affine Spezialfälle derselben projektiven scenario. Inhalt und gewählte Vorgehensweise machen die mathematischen Grundlagen der analytischen Geometrie, wie sie bereits in der Oberstufe des Gymnasiums unterrichtet wird, klar. Aufgrund der ausführlichen und durch viele Abbildungen veranschaulichten Beweise ist dieses Buch auch bestens zum Selbststudium geeignet.

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Die dortigen Axiome ergeben sich bei unserem Vorgehen als S¨ atze in (d)-Ebenen. Im Grundkurs Mathematik [10] des DIFF werden Vektoren in euklidischen Ebenen in analoger Weise mit Hilfe von Parallelverschiebungen eingef¨ uhrt (nat¨ urlich mit v¨ ollig anderen Beweisen als hier). 28 2 Parallelverschiebungen in (d)-Ebenen (b) (P, Q, R, S) heißt ein uneigentliches Parallelogramm, wenn P, Q, R, S kollinear, aber P = Q, R = S sind und es ein Paar (V, W ) von Punkten gibt, so dass sowohl (P, Q, V, W ) als auch (R, S, V, W ) eigentliche Parallelogramme sind (vgl.

4. Fall: Nun seien (P, Q, R, S) und (R, S, T, U ) beide uneigentliche Parallelogramme, also P, Q, R, S, T, U kollinear (Figur 13 d). Nach Definition existieren zum uneigentlichen Parallelogramm (P, Q, R, S) Hilfspunkte (V, W ), so dass (P, Q, V, W ) und (R, S, V, W ) eigentliche Parallelogramme sind. 2 ein eigentliches Parallelogramm. Da (P, Q, V, W ) und (T, U, V, W ) eigentliche Parallelogramme sind, ist nach Definition (P, Q, T, U ) ein uneigentliches (falls P = T und damit Q = U ist) oder ein ausgeartetes Parallelogramm (falls P = T und damit Q = U ist).

Dann ist 36 2 Parallelverschiebungen in (d)-Ebenen nach Satz 2 auch (P, S, R, U ) und somit wieder nach Satz 1 auch (P, R, S, U ) ein Parallelogramm. 1 außerdem : Satz 4 : In jeder affinen Inzidenzebene A gilt : Ist (P, Q, R, S) ein Parallelogramm in A und ist κ eine Kollineation von A, dann ist auch (κ(P ), κ(Q), κ(R), κ(S)) ein Parallelogramm in A. 4 Definition von Parallelverschiebungen Die Grundlage f¨ ur die Definition von Parallelverschiebungen ist der folgende Satz : Satz : Es sei (P, Q) ein Punktepaar einer (d)-Ebene4 .

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by Kenneth
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